অষ্টম শ্রেণির প্রথম অধ্যায় প্যাটার্ণ

প্যাটার্ন

 Share 

বৈচিত্র্যময় প্রকৃতি নানা রকম প্যাটার্নে ভরপুর। প্রকৃতির এই বৈচিত্র্য আমরা গণনা ও সংখ্যার সাহায্যে উপলব্ধি করি। প্যাটার্ন আমাদের জীবনের সঙ্গে জুড়ে আছে নানা ভাবে। শিশুর লাল-নীলব্লকআলাদা করা একটি প্যাটার্ন−লালগুলো এদিকে যাবে, নীলগুলো ঐদিকে যাবে। সে গণনা করতে শেখেÑ সংখ্যা একটি প্যাটার্ন। আবার ৫-এর গুণিতকগুলোর শেষে ০ বা ৫ থাকে, এটিও একটি প্যাটার্র্ন। সংখ্যা প্যাটার্ন চিনতে পারা Ñ এটি গাণিতিক সমস্যা সমাধানেদক্ষতাঅর্জনের গুরুত্বপূর্ণ অংশ। আবার আমাদের পোশাকে নানা রকম বাহারি নকশা, বিভিন্নস্থাপনার গায়ে কারুকার্যময় নকশা ইত্যাদিতে জ্যামিতিক প্যাটার্ন দেখতে পাই।

১.১ প্যাটার্ন[edit]

নিচের চিত্রের টাইলস্গুলো লক্ষকরি। এগুলো একটি প্যাটার্নে সাজানো হয়েছে। এখানে প্রতিটি আড়াআড়ি টাইলসের পাশের টাইলসটি লম্বালম্বিভাবে সাজানো। সাজানোর এই নিয়মটি একটি প্যাটার্র্ন সৃষ্টি করেছে।

দ্বিতীয় চিত্রে কতগুলো সংখ্যা ত্রিভুজাকারে সাজানো হয়েছে। সংখ্যাগুলো একটি বিশেষ নিয়ম মেনে নির্বাচন করা হয়েছে। নিয়মটি হলো: প্রতি লাইনের শুরুতে ও শেষে ১ থাকবে এবং অন্য সংখ্যাগুলো উপরের সারির দুইটি পাশাপাশি সংখ্যার যোগফলের সমান। যোগফল সাজানোর এই নিয়ম অন্য একটি প্যাটার্র্ন সৃষ্টি করেছে। আবার, ১, ৪, ৭, ১০, ১৩, ............. সংখ্যাগুলোতে একটি প্যাটার্র্ন বিদ্যমান। সংখ্যাগুলো ভালোভাবেলক্ষ করে দেখলে একটি নিয়ম খুঁজে পাওয়া যাবে। নিয়মটি হলো, ১ থেকে শুরু করে প্রতিবার ৩ যোগ করতে হবে। অন্য একটি উদাহরণ : ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ........ প্রতিবার দ্বিগুণ হচ্ছে।

১.২ স্বাভাবিক সংখ্যার প্যাটার্ন[edit]

মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়

আমরা জানি যে, ১-এর চেয়ে বড় যে সব সংখ্যার ১ ও সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো গুণনীয়ক নেই, সেগুলো মৌলিক সংখ্যা। ইরাটোস্থিনিস (ঊৎধঃড়ংঃযবহবং) ছাঁকনির সাহায্যে সহজেই মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করা যায় । ১ থেকে ১০০পর্যন্তস্বাভাবিক সংখ্যাগুলো একটি চার্টে লিখি। এবার সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা ২ চিহ্নিত করি এবং এর গুণিতকগুলো অর্থাৎ প্রত্যেক দ্বিতীয় সংখ্যা কেটে দেই। এরপর ক্রমান্বয়ে ৩, ৫ এবং ৭ ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যার গুণিতকগুলো কেটে দিই। তালিকায় যে সংখ্যাগুলো টিকে রইল সেগুলো মৌলিক সংখ্যা।

তালিকার নির্দিষ্ট সংখ্যা নির্ণয়

উদাহরণ ১।তালিকার পরবর্তী দুইটি সংখ্যা নির্ণয় কর : ৩, ১০, ১৭, ২৪, ৩১, ...

সমাধান : তালিকার সংখ্যাগুলো ৩, ১০, ১৭, ২৪, ৩১, ...
পার্থক্য ৭ ৭ ৭ ৭
লক্ষকরি, প্রতিবার পার্থক্য ৭ করে বাড়ছে। অতএব, পরবর্তী দুইটি সংখ্যা হবে যথাক্রমে ৩১ + ৭ = ৩৮ ও ৩৮+৭ = ৪৫।

উদাহরণ ২।তালিকার পরবর্তী সংখ্যাটি নির্ণয় কর : ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ...
সমাধান : তালিকার সংখ্যাগুলো ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ...
পার্থক্য ৩ ৫ ৭ ৯
লক্ষকরি, প্রতিবার পার্থক্য ২ করে বাড়ছে। অতএব, পরবর্তী সংখ্যা হবে ২৫ + ১১ = ৩৬।

উদাহরণ ৩।তালিকার পরবর্তী সংখ্যাটি নির্ণয় কর : ১, ৫, ৬, ১১, ২৮, ...
সমাধান : তালিকার সংখ্যাগুলো ১, ৫, ৬, ১১, ১৭, ২৮, ...
যোগফল ৬ ১১ ১৭ ২৮ ৪৫ ......
তালিকার সংখ্যাগুলো একটি প্যাটার্নে লেখা হয়েছে। পরপর দুইটি সংখ্যার যোগফল পরবর্তী সংখ্যাটির সমান। সংখ্যাগুলোর পার্থক্য লক্ষকরে দেখতে পাই যে, প্রথম পার্থক্য বাদে বাকি পার্থক্যগুলোমূলতালিকার সাথে মিলে যায়। এর অর্থ এই যে, কোনো দুইটি ক্রমিক সংখ্যার পার্থক্য পূর্ববর্তী সংখ্যার সমান। অতএব, পরবর্তী সংখ্যা হবে ১৭ + ২৮ = ৪৫।

কাজ :
১।: ০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ......... সংখ্যাগুলোকে ফিবোনাক্কি সংখ্যা বলা হয়। সংখ্যাগুলোতে কোনো প্যাটার্র্ন দেখতে পাও কী ?
লক্ষকর : ২ পাওয়া যায় এরপূর্ববর্তী ২টি সংখ্যা যোগ করে (১+১)
৩ ” ” ” ” ২টি ” ” ” (১+২)
২১ ” ” ” ” ২টি ” ” ” (৮+১৩)
পরবর্তী দশটি ফিবোনাক্কি সংখ্যা বের কর।
স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়
স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল বের করার একটি চমৎকার সূত্ররয়েছে। আমরা সহজেইসূত্রটিবের করতে পারি।
মনে করি, ১ থেকে ১০পর্যন্তক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল ক।
ক=১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+১০ লক্ষকরি, প্রথম ও শেষ পদের যোগফল ১ + ১০ = ১১, দ্বিতীয় ও শেষ পদের আগের পদের যোগফলও ২ + ৯ = ১১ ইত্যাদি। একই যোগফলের প্যাটার্ন অনুসরণ করে ৫ জোড়া সংখ্যা পাওয়া গেল । সুতরাং যোগফল ১১দ্ধ ৫ = ৫৫। এ থেকে স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল বের করার একটি কৌশল পাওয়া গেল।

কৌশলটি হলো :
প্রদত্ত যোগফলের সাথে সংখ্যাগুলো বিপরীত ক্রমে লিখে যোগ করে পাই

প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল নির্ণয় প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত ? ক্যালকুলেটরের সাহায্যে সহজেই যোগফল পাই, ১০০।

১+৩+৫+৭+৯+১১+১৩+১৫+১৭+১৯=১০০

এভাবে প্রথমপঞ্চাশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল বের করতে সহজ হবে না। বরং এ ধরনের যোগফল নির্ণয়ের জন্য কার্যকর গাণিতিক সূত্রতৈরি করি। ১ থেকে ১৯ পর্যন্তবিজোড় সংখ্যাগুলো লক্ষ করলে দেখা যায়, ১ + ১৯ = ২০, ৩ + ১৭ = ২০, ৫ + ১৫ = ২০ ইত্যাদি । এরকম ৫ জোড়া সংখ্যা পাওয়া যায় যাদের যোগফল ২০। সুতরাং, সংখ্যা গুলোর যোগফল ৫x২০ = ১০০।

আমরা লক্ষ করি, ১ + ৩ = ৪, একটিপূর্ণবর্গসংখ্যা
১+৩+৫=৯, একটিপূর্ণবর্গ সংখ্যা
১+৩+৫+৭=১৬, একটিপূর্ণবর্গ সংখ্যা, ইত্যাদি।
প্রতিবার যোগফল একটিপূর্ণবর্গসংখ্যাপাচ্ছি। বিষয়টি জ্যামিতিক প্যাটার্ন হিসেবে সহজেই ব্যাখ্যা করা যায়। ক্ষুদ্রাকৃতিরবর্গের সাহায্যে এই যোগফলের প্যাটার্র্নলক্ষকরি।

দেখা যাচ্ছেযে, ৩টি বিজোড় সংখ্যা যোগের বেলায় প্রত্যেকের পাশে ৩টি ছোট বর্গ বসানো হয়েছে। সুতরাং, ১০টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে চিত্রের প্রতি পাশে ১০টি ছোট বর্গ থাকবে। অর্থাৎ, ১০ঢ১০ বা ১০০টি বর্গের প্রয়োজন হবে। সাধারণভাবে বলা যায় যে, ’ক’ সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল (ক)^২।

কাজ ১। যোগফল বের কর: ১+৪+৭+১০+১৩+১৬+১৯+২২+২৫+২৮+৩১

১.৩ সংখ্যাকে দুইটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ[edit]

কিছু সংখ্যা রয়েছে যেগুলোকে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায়। যেমন,
২=১^২+১^২ 
৫=১^২ +২^২ 
৮=২^২+২^২ 
১০=১^২+৩^২ 
১৩=২^২+৩^২ 
ইত্যাদি। 
এ সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফল সহজেই বের করা যায়। ১ থেকে ১০০-এর মধ্যে ৩৪ টি সংখ্যাকে দুইটি বর্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়। 
আবারকিছু স্বাভাবিক সংখ্যাকে দুই বা অধিক উপায়ে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায়। যেমন, 
৫০=১^২+৭^২=৫^২+৫^২ 
৬৫=১^২+৮^২=৪^২+৭^২ 

কাজ   
 ১। ১৩০, ১৭০, ১৮৫ কে দুইভাবে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ কর।    
 ২। ৩২৫ সংখ্যাটি তিনটি ভিন্নউপায়ে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ কর।

কোনো স্বাভাবিক সংখ্যাকে তিনটি বিভিন্নউপায়ে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায় কি ?

১.৪ ম্যাজিক বর্গ নির্মাণ[edit]

(ক) ৩ ক্রমের ম্যাজিক বর্গ 
একটি বর্গক্ষেত্রকে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর তিন ভাগে ভাগ করে নয়টি ছোট বর্গক্ষেত্র করা হলো। প্রতিটি ক্ষুদ্র বর্গক্ষেত্রে ১ থেকে ৯পর্যন্তক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো এমন ভাবে সাজাতে হবে যাতে পাশাপাশি, উপরনিচ, কোনাকুনি যোগ করলে যোগফল একই হয়। এ ক্ষেত্রে ৩ ক্রমের ম্যাজিক সংখ্যা হবে ১৫। সংখ্যাগুলো সাজানোর বিভিন্নকৌশলের একটি কৌশল হলো কেন্দ্রের ছোট বর্গক্ষেত্রে ৫ সংখ্যা বসিয়ে কর্ণের বরাবর বর্গক্ষেত্রে জোড় সংখ্যাগুলো লিখতে হবে যেন কর্ণ দুইটি বরাবর যোগফল ১৫ হয়। কর্ণের সংখ্যাগুলো বাদ দিয়ে বাকি বিজোড় সংখ্যাগুলো এমনভাবে নির্বাচন করতে হবে যেন পাশাপাশি, উপর-নিচ যোগফল ১৫ পাওয়া যায়। পাশাপাশি, উপর-নিচ, কোনাকুনি যোগ করে দেখা যায় ১৫ হচ্ছে। 
 

(খ) ৪ ক্রমের ম্যাজিক বর্গ 
একটি বর্গক্ষেত্রকে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর চার ভাগে ভাগ করে ষোলটি ছোট বর্গক্ষেত্র করা হলো। প্রতিটি ক্ষুদ্র বর্গক্ষেত্রে ১ থেকে ১৬পর্যন্তক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো এমন ভাবে সাজাতে হবে যাতে পাশাপাশি, উপরনিচ, কোনাকুনি যোগ করলে যোগফল একই হয়। এ ক্ষেত্রে যোগফল হবে ৩৪ এবং ৩৪ হলো ৪ ক্রমের ম্যাজিক সংখ্যা। সংখ্যাগুলো সাজানোর বিভিন্নকৌশল রয়েছে। একটি কৌশল হলো সংখ্যাগুলো যেকোনো কোণ থেকে আরম্ভ করে ক্রমান্বয়ে পাশাপাশি, উপর-নিচ লিখতে হবে। কর্ণের সংখ্যাগুলো বাদ দিয়ে বাকি সংখ্যাগুলো নির্বাচন করতে হবে। এবার কর্ণের সংখ্যাগুলো বিপরীত কোণ থেকে লিখি। পাশাপাশি, উপর-নিচ, কোনাকুনি যোগ করে দেখা যায়, যোগফল ৩৪ হচ্ছে।  

কাজ : 
 ১। ভিন্নকৌশলে ৪ ক্রমের ম্যাজিক বর্গ তৈরি কর। 
 ২। দলগতভাবে ৫ ক্রমের ম্যাজিক বর্গ নির্মাণের চেষ্টা কর।

১.৫ সংখ্যা নিয়ে খেলা[edit]

১। দুই অঙ্কের যে কোনো সংখ্যা নাও। সংখ্যার অঙ্ক দুইটি স্থান বদল করেনতুনসংখ্যাটির সাথে আগের সংখ্যাটি যোগ কর। যোগফল কে ১১ দ্বারা ভাগ কর। ভাগশেষ হবেশূন্য। 
২। দুই অঙ্কের যে কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটি স্থান পরিবর্তন কর। বড় সংখ্যাটি থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করে ৯ দ্বারা ভাগ দাও। ভাগশেষ হবে শূন্য। 
৩। তিন অঙ্কের যে কোনো সংখ্যা নাও। সংখ্যার অঙ্কগুলোকে বিপরীত ক্রমে লিখ। এবার বড় সংখ্যাটি থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ কর। বিয়োগফল ৯৯ দ্বারা ভাগ কর। ভাগশেষ ০ কেন ব্যাখ্যা কর। 

১.৬ জ্যামিতিক প্যাটার্ন[edit]

চিত্রের বর্ণগুলো সমান দৈর্ঘ্যে রেখাংশের দ্বারা তৈরি করা হয়। এ রকম কয়েকটি অঙ্কের চিত্র লক্ষকরি : 

চিত্রগুলো তৈরি করতে কতগুলো রেখাংশ প্রয়োজন তার প্যাটার্ন লক্ষকরি। ’ক’ সংখ্যক অঙ্ক তৈরির জন্য রেখাংশের সংখ্যা প্রতি প্যাটার্নের শেষে বীজগণিতীয় রাশির সাহায্যে দেখানো হয়েছে। 

বীজগণিতীয় রাশির সাহায্যে সংখ্যা প্যাটার্নের সারণিটিপূরণকরি : 

অনুশীলনী ১[edit]

১। প্রতিটি তালিকার পরবর্তী চারটি সংখ্যা নির্ণয় কর :  

(ক) ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ... 
(খ) ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ... 
(গ) ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ... 
(ঘ) ৭, ১৪, ২১, ২৮, ৩৫, ... 
(ঙ) ৮, ১৬, ২৪, ৩২, ৪০, ... 
(চ) ৬, ১২, ১৮, ২৪, ৩০, ... 

২। প্রতিটি তালিকার পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য বের কর এবং পরবর্তী দুইটি সংখ্যা নির্ণয় কর : 

(ক) ৭, ১২, ১৭, ২২, ২৭, ... 
(খ) ৬, ১৭, ২৮, ৩৯, ৫০, ... 
(গ) ২৪, ২০, ১৬, ১২, ৮, ... 
(ঘ) ১১, ৮, ৫, ২, -১, ... 
(ঙ) -৫, -৮, -১১, -১৪, ... 
(চ) ১৪, ৯, ৪, -১, -৬, ... 

৩। তালিকার পরবর্তী দুইটি সংখ্যা নির্ণয় কর :   

(ক) ২, ২, ৪, ৮, ১৪, ২২ ... 
(খ) ০, ৩, ৮, ১৫, ২৪, ... 
(গ) ১, ৪, ১০, ২২, ৪৬, ... 
(ঘ) ৪, -১, -১১, -২৬, -৪৬, ... 

৪। নিচের সংখ্যা প্যাটার্নগুলোর মধ্যে কোনো মিল রয়েছে কি ? প্রতিটি তালিকার পরবর্তী সংখ্যাটি নির্ণয় কর। 

(ক) ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩ ... 
(খ) ৪, ৪, ৫, ৬, ৮, ১১, ... 
(গ) -১, -১, ০, ১, ৩, ৬, ১১, ... 

৫। কোনো এককম্পিউটারপ্রোগ্রাম থেকে নিচের সংখ্যাগুলো পাওয়া গেল: 
১ ২ ৪ ৮ ১১ ১৬ ২২ 
এ সংখ্যাগুলোর একটি সংখ্যা পরিবর্তন করা হলে সংখ্যাগুলো একটি প্যাটার্ন তৈরি করে। সংখ্যাটি চিহ্নিত করে উপযুক্ত সংখ্যা বসাও।

৬। বীজগণিতীয় রাশির সাহায্যে সংখ্যা প্যাটার্নের সারণিটিপূরণকর : 
৭। নিচের জ্যামিতিক চিত্রগুলো কাঠি দিয়ে তৈরি করা হয়েছে। 
(ক) কাঠির সংখ্যার তালিকা কর। 
(খ) তালিকার পরবর্তী সংখ্যাটি কীভাবে বের করবে তা ব্যাখ্যা কর। 
(গ) কাঠি দিয়ে পরবর্তী চিত্রটি তৈরি কর এবং তোমার উত্তর যাচাই কর। 
৮। দেশলাইয়ের কাঠি দিয়ে নিচের ত্রিভুজগুলোর প্যাটার্ন তৈরি করা হয়েছে। 
(ক) চতুর্থ প্যাটার্নে দেশলাইয়ের কাঠির সংখ্যা বের কর। 
(খ) তালিকার পরবর্তী সংখ্যাটি কীভাবে বের করবে তা ব্যাখ্যা কর। 
(গ) শততম প্যাটার্ন তৈরিতে কতগুলো দেশলাইয়ের কাঠির প্রয়োজন ?